martes, 13 de septiembre de 2011

PARABOLA E HIPERBOLE

DEMOSTRACION DE LA PARABOLA


EJEMPLO DE PARABOLA


DEMOSTRACION DE HIPERBOLE


EJEMPLO DE HIPERBOLE



PARABOLA E HIPERBOLE EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1
Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c (y + q). 

EJERCICIO 2
Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: 
                              y – q = -q/2c (x-p)     
EJERCICIO 3
Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas: 
a. y = x2 – 2x – 8 
b. y = x2 – 6x + 9 
c. y = 5 – 4x - x2 
d. y = 9 – x2 
EJERCICIO 4
Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 
a. F(3, 0), V(2, 0) 
b. F(0, 0), V(-1, 0)

EJERCICIO 5
Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas.   Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. 
a. y2 + 4x – 4y – 20 = 0 
b. y2 – 8x + 4y + 12 = 0 
c. y2 + 4x + 4y = 0 
d. 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0 
PARABOLA E HIPERBOLA EJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIO 1
 Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles, se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. 
a. 16x2 – 25y2 = 100 
b. 9x2 – 4y2 = 36 
c. 4x2 – y2 = 16 
d. x2 – 9y2 = 18 

EJERCICIO 2
 En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica y las asíntotas. 
Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). 
Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). 
Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). 
Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5). 
V1 (-3, 2), V2 (-3, -2); 2b = 6. 
EJERCICIO 3

  En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente. 

                  (x-3)2 / 4 – (y+1)2  / 9 = 1
                  (x+5)2 - 4 (y-4)2 = 16
                   9(x-3)2 – (y+2)2  = 18

 
EJERCICIO 4
Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma:
Ax2 + Cy2 + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos,
es una hipérbola con centro en (0, 0). 

EJERCICIO 5

 Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma
 Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos opuestos: 
es una hipérbola si: 
D2 / 4A + E2 / 4C – F ‡ 0

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