ICFES

CIRCUNFERENCIA: Es un lugar geometrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

 01.

02.

03.

04.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

01.CIRCUNFERENCIA CONCENTRICAS

02.CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES

03.CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

04. CIRCUNFERENCIA TANGENTES INTERIORES

05.CIRCUNFERENCIAS SECANTES

06.CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES

07.CIRCUNFERENCIAS INTERIORES

PROPIEDADES DE LOS TANGENTES

01.

02. TANGENTES COMUNES EXTERIORES

03. TANGENTES COMUNES INTERIORES

TEOREMA DE PONCELET



TEOREMA DE PILOT

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.MEDIDA DEL ANGULO CENTRAL

02. MEDIDA DEL ANGULO INTERNO

03. MEDIDA DEL ANGULO INSCRITO

04. MEDIDA DEL ANGULO SEMI-INSCRITO

05. MEDIDA DEL ANGULO EXINSCRITO

ANGULOS EXTERIORES

01.MEDIDA DEL ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS TANGENTES

02. ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS SECANTES

01.MEDIDA DEL ANGULO FORMADO POR UNA RECTA TANGENTE Y OTRA SECANTE

 

PARABOLA E HIPERBOLE

DEMOSTRACION DE LA PARABOLA

EJEMPLO DE PARABOLA

DEMOSTRACION DE HIPERBOLE

EJEMPLO DE HIPERBOLE



PARABOLA E HIPERBOLE EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1

Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x² = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c (y + q). 

EJERCICIO 2

Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y² = 4cx en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: 

                              y – q = -q/2c (x-p)     

EJERCICIO 3

Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas: 
a. y = x² – 2x – 8 
b. y = x² – 6x + 9 
c. y = 5 – 4x - x² 
d. y = 9 – x² 

EJERCICIO 4

Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 

a. F(3, 0), V(2, 0) 

b. F(0, 0), V(-1, 0)

EJERCICIO 5

Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas.   Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. 

a. y² + 4x – 4y – 20 = 0 
b. y² – 8x + 4y + 12 = 0 
c. y² + 4x + 4y = 0 
d. 4y² + 24x + 12y – 39 = 0 

PARABOLA E HIPERBOLA EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIO 1

 Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles, se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. 
a. 16x² – 25y² = 100 
b. 9x² – 4y² = 36 
c. 4x² – y² = 16 
d. x² – 9y² = 18 

EJERCICIO 2

 En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica y las asíntotas. 
Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). 
Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). 
Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). 
Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5). 
V₁ (-3, 2), V₂ (-3, -2); 2b = 6. 

EJERCICIO 3

  En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente. 

                  (x-3)² / 4 – (y+1)²  / 9 = 1
                  (x+5)² - 4 (y-4)² = 16
                   9(x-3)² – (y+2)²  = 18

 

EJERCICIO 4

Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma:

Ax² + Cy² + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos,

es una hipérbola con centro en (0, 0). 

EJERCICIO 5

 Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma

 Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos opuestos: 
es una hipérbola si: 

D² / 4A + E² / 4C – F ‡ 0

CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE

CIRCUNFERENCIA

ELIPSE

CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1-  CIRCUNFERENCIA

Encontremos la ecuación de la circunferencia con centro en (4,3) y radio 2.

SOLUCIÓN

Por aplicación de la relación que define la circunferencia, r=2, a=4 y b=3, entonces:

[(x, y) : (x – 4)² + (y – 3)² = 2² ]

= [(x, y):   (x – 4)² + (y – 3)² = 4]

Efectuando operaciones:

= [(x, y):   x² – 8x + 16 +y² -6y + 9 -4 = 0]

Reuniendo términos semejantes

= [(x, y):   x² – 8x + y² -6y + 21 = 0]

Esta es la ecuación pedida.

EJERCICIO 2

Encontremos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 1.

SOLUCIÓN

En este caso, el centro es C (0,0) por ser el origen de coordenadas y r = 1; luego, por aplicación de la ecuación de la circunferencia:

[(x, y) : (x – 0)² + (y – 0)² = 1² ]

= [(x, y) :   x² + y² = 1]

Es la ecuación pedida.

Si nos dan la ecuación de una circunferencia, podemos encontrar su centro y su radio llevando la ecuación dada a la forma:

[(X, y): (x – a)² + (y – b)² = r² ]

Completando cuadrados, si es necesario.

EJERCICIO 3

Encontremos el centro y el radio de la circunferencia definida por:

= [(x, y):   x² + y² – 2x – 2y = 2]

SOLUCIÓN

Es necesario transformar la ecuación dada a la forma de la ecuación de la circunferencia.

Tomemos la relación que determina el conjunto:

x² + y² – 2x – 2y = 2

Agrupando se tiene:    (x² – 2x) + (y²  – 2y) = 2

Completamos un cuadrado en cada paréntesis así:

(x² – 2x + 1) + (y²  – 2y + 1) – 2  = 2

(Hemos sumado y restado 2, al primer miembro.)

(x – 1)² + (y – 1)² = 2 + 2

(x – 1)² + (y – 1)² = 2²

Entonces:

= [(x, y) :   x² + y² – 2x – 2y = 2] =

= [(x, y) :   (x – 1)² + (y – 1)² = 2²]

Comparando esta última expresión con la ecuación de la circunferencia, se tiene su centro (1, 1) y radio r=2.

EJERCICIO 4-    ELIPSE

Encontremos la ecuación de la elipse que tiene sus focos en F₁ (-2, 0) y F₂ (2, 0) y cuyo semieje menor tiene una longitud de dos unidades de longitud.

SOLUCIÓN

b= 2, c= 2

Luego: a² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8

Aplicando la ecuación se tiene:

[ (x , y): x²/8 + y²/4 = 1]

Que es la ecuación pedida.

EJERCICIO 5                                                                                                                          

Dada la ecuación de la elipse [(x, y): 4x² + 9y² = 36] encontremos el valor de los semiejes y la localización de los focos.

SOLUCIÓN

Trabajamos únicamente con la ecuación que determina el conjunto.

Dividiendo ambos miembros de la ecuación dada por 36 tenemos:

X²/9 + y²/4 = 1

Aplicando la ecuación se encuentra el valor de c,

a² = b² + c²

9 = 4 + c²

c = +- √5

Los focos están situados en F₁ (- √5, 0) y F₂ (√5, 0).                           

CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIO 1

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3. Dibujar esta circunferencia.

EJERCICIO 2

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (-3, -2) y radio 3.

EJERCICIO 3

Encontrar el centro y el radio de la circunferencia:

[(X, y): x² + y² – 4x + 3y = 0]

EJERCICIO 4

Encontrar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (-2, 0) y (2, 0) y semieje mayor 3.

EJERCICIO 5

Encontrar la localización de los focos  de la siguiente elipse y dibujarla:

[(x, y): 16x² + 25y² = 400]

LINEA RECTA

RECTAS PARALELAS

RECTAS PERPENDICULARES

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

LINEA RECTA EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1

Encontremos el perímetro de un triángulo cuyos vértices son los puntos a (1, 0), B (1, -3) y C (3, 4).

SOLUCIÓN

Perímetro 0 d(A, C) + d (C, B) + d(A, B)
Aplicando la fórmula de distancia separadamente tenemos:

d(A, C) =  √((3-1)² + (4-0)²)  =  √(4+16)  = √20

d(C, B) =  √((1-3)² + (-3-4-)²)  =  √(4+49)  = √53

d(B, A) =  √((1-1)² + (0-(-3))²)  =  3

Sumando estas relaciones:

Perímetro: d(A, C)+ d(C, B) +d(B, A)= √20 + √53 + 3.

EJERCICIO  2

Encontremos la distancia entre los puntos P(-2, 4) y Q(4, 3)

SOLUCIÓN

Por aplicación de la fórmula de la distancia con

X₂ = 4, y₂ = 3, x₁ = -2 y y₁=4, se tiene:

D (P, Q) =  √ ((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) 

D (P, Q) =  √ ((4-(-2))² + (3-4-)²) 

D (P, Q) =  √ ((4+2)² + (3-4)²)  =  √37

La distancia pedida es √37 unidades de longitud                                

EJERCICIO 3-             RECTAS PARALELAS

Determinemos si la recta que pasa por los puntos A (0, 3) y B (-1/2, -1) y la recta que pasa por los puntos  M (1, 2) y N (0, -6) son paralelas.


SOLUCIÓN

Sean m₁ la pendiente de la recta determinada por los puntos A y B y m₂ la pendiente de la recta por N y M, entonces:

m₁ = (-1-3)/(-1/2 -0) = 8

m₂ = (-6-2)/(0-1) = 8

Como m₁ = m₂ = 8, entonces las rectas son paralelas

EJERCICIO  4-          RECTAS PERPENDICULARES

Una recta L₁ tiene una inclinación β₁ = 120º. Hallemos la pendiente de una recta L₂ perpendicular a L₁ y su inclinación.

SOLUCIÓN

Sean      m₁ = pendiente de la recta L₁

                m₂ = pendiente de la recta L₂

                m₁ = tan β₁ = tan 120º = -√3

Como queremos que L₁ I L₂, entonces se debe cumplir que m₁ * m₂ = -1

Luego,  m₂ = -1/m₁ =  -1/-√3 =  √3/3

                m₂  = √3/3 es la pendiente de la recta L₂

Si m₂ = tan  β₂ = √3/3, entonces β₂ = arc tan √3/3 = 30º                              

EJERCICIO  5-          ECUACIÓN DE LA RECTA

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, 3) y tiene pendiente -3

SOLUCIÓN

Los datos del problema nos indican que m = -3 y P (x₁ , y₁) = P₁ (-2, 3); reemplazando tenemos:

y - 3 = -3 (x - (-2))

Luego, y + 3x + 3 = 0, es la ecuación de la recta pedida

EJERCICIO  6-         ECUACIÓN DE LA RECTA

Hallemos la ecuación general de la recta que pasa por el punto por donde la recta 3x + 2y – 6 = 0 corta al eje X y por el punto de intersección de la recta –x –y -1 = 0 con el eje Y.

SOLUCIÓN

Para y=0 en 3x + 2y – 6 = 0, encontramos el intercepto con el eje X:

3x + 2*0 -6 = 0 entonces x = 2

Por tanto, 3x + 2y – 6 = 0 corta al eje X en (2, 0).

En forma similar, para x = 0 en  –x –y -1 = 0, obtenemos que el punto de intersección de la recta  

–x –y -1 = 0 con el eje Y es (0, -1).

Reemplazando a=2 y b= -1 en la ecuación x/a + y/b = 1, obtenemos:

x/2 – y/1 = 1

y la ecuación general de la recta pedida es :

x - 2y – 2 = 0

LÍNEA RECTA EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIO 1

Averiguar si el triángulo que determinan los puntos dados es escaleno, isósceles o equilátero.

a. (-2, 1), (4, 1), (1, 4)

b. (6, 2), (2, 6), (-3, -3)

c. (-2, 5), (0, 0), (6, 1)

EJERCICIO 2

 Los vértices de un cuadrilátero son los puntos A(0, 0), B(1, 1), C(4, 7) y D(5, 0). Calcular:

a. Las longitudes de los lados
b. Las longitudes de las diagonales
c. El perímetro del cuadrilátero
d. El área del cuadrilátero

EJERCICIO 3

Hallar el valor de k para que la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (5,0), y la recta que pasa por los puntos (k, -2) y 81, 1) sean:

a. paralelas
b. perpendiculares

EJERCICIO 4

Demostrar que si las rectas A1x + B1y + C1 = 0  y A2x + B2y + C2 =0 son paralelas, entonces
A1 B2 - A2 B1=0

EJERCICIO 5

Hallar la ecuación de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas:
2X - y + 1 = 0 y 3x + 2y -3 = 0.