PARABOLA E HIPERBOLE

DEMOSTRACION DE LA PARABOLA

EJEMPLO DE PARABOLA

DEMOSTRACION DE HIPERBOLE

EJEMPLO DE HIPERBOLE



PARABOLA E HIPERBOLE EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1

Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x² = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c (y + q). 

EJERCICIO 2

Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y² = 4cx en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: 

                              y – q = -q/2c (x-p)     

EJERCICIO 3

Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas: 
a. y = x² – 2x – 8 
b. y = x² – 6x + 9 
c. y = 5 – 4x - x² 
d. y = 9 – x² 

EJERCICIO 4

Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 

a. F(3, 0), V(2, 0) 

b. F(0, 0), V(-1, 0)

EJERCICIO 5

Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas.   Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. 

a. y² + 4x – 4y – 20 = 0 
b. y² – 8x + 4y + 12 = 0 
c. y² + 4x + 4y = 0 
d. 4y² + 24x + 12y – 39 = 0 

PARABOLA E HIPERBOLA EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIO 1

 Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles, se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. 
a. 16x² – 25y² = 100 
b. 9x² – 4y² = 36 
c. 4x² – y² = 16 
d. x² – 9y² = 18 

EJERCICIO 2

 En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica y las asíntotas. 
Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). 
Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). 
Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). 
Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5). 
V₁ (-3, 2), V₂ (-3, -2); 2b = 6. 

EJERCICIO 3

  En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente. 

                  (x-3)² / 4 – (y+1)²  / 9 = 1
                  (x+5)² - 4 (y-4)² = 16
                   9(x-3)² – (y+2)²  = 18

 

EJERCICIO 4

Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma:

Ax² + Cy² + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos,

es una hipérbola con centro en (0, 0). 

EJERCICIO 5

 Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma

 Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos opuestos: 
es una hipérbola si: 

D² / 4A + E² / 4C – F ‡ 0